咱们就不整那些虚头巴脑的教科书开场白，直接上手。
分步乘法计数原理 想象一下，你手里攥着一把钥匙，想打开通往新世界的大门。
这把钥匙有三个关键零件，分别是红木、蓝木和铜。 第一步，你先拿红木。你心里有个数：这红木只有一种可能性，就是那把标准的红木钥匙。再想，这红木上插了蓝木，又有几种可能？这时候你就会想到，蓝木的排列方式跟红木没关系，它们就像两条平行的轨道，互不干扰。
故此，红木插蓝木的时候，后面还剩下 n-1 个位置，每个位置都能够自由发挥，有 3 种选法。 第二步，轮到蓝木登场。
这时候你发现，蓝木实际上跟前面的红木是串盟的，它要插在哪儿都有贡献。
既然红木占了前面，蓝木就只盯着后面那 2 个空位看。
只要把这蓝木插进去，整个组合就固定了。 第三步，最终铜木上场。前面两步已经定好了，目前你的任务好办粗暴，就是把铜木插进去就行。根据乘法原理，前面两步的组合数是 3，第三步就是 2。 整个过程下来，你的选择步骤数就是 3 乘以 2，等于 6 种。
这不就通了吗？ 这一套操作，实际上就包含三个不可或缺的条件。 起初，你得保证每一步你选的东西都是合法的。
比如你要选红木，那它得是确实红木；你要选蓝木，那它得是确实蓝木。一旦某个步骤选错了，后面所有的事全完了，前面的努力白搭。
这是第一道门槛，叫“合法性”。 你要确认每一步的选择跟其他步骤是独立的。
这就是所谓的互斥性。
要是你选了某种特殊的红木，你就不能再去选那种特殊的蓝木，出于它们不能与此同时出目前同一个组合里。
这就是第二道门槛，叫“互斥性”。 最终，这些步骤务必能连起来。你要确保第一步选的能承接第二步，第二步能承接第三步。
举个例子，要是你第一步选了“男”，第二步选了“女”，第三步又选了“男”，这在逻辑上就通顺。
只要这三个条件都 met，那难题就靠好办的乘法解决了。 咱们来换个角度，看看为啥不能直接加。 假设你要考三门课，每门课有 2 个选项。
是不是直接加啊？2 加 2 等于 4？不对，对答案才 8 种。
为啥？出于要是你选了“数学”和“物理”，你后面的“语文”选哪个都一样。
要是你选了“数学”和“物理”，那“语文”又有了不同的选择；要是你选了“文学”和“语文”，那“数学”和“物理”就没了。 这就好比玩多米诺骨牌，要么排队买票。 再举个具体例子，算算看。 假设你组装一个电脑，需求选 3 个组件：CPU、内存和显卡。 第一步，CPU 你只能选 2 种：AMD 要么 Intel，这就 2 种可能。 第二步，内存再好，跟 CPU 没关系，但它需求插进去，故此也有 2 种可能。 第三步，显卡，它只管插，跟前两个没关系，故此也有 2 种可能。 这时候你就想：是 2 加 2 加 2 吗？ 那个不对，出于“所有情况都算上”这个条件得知足。当你把这三个步骤连起来，你实际上是在做乘法。2 乘以 2 等于 4，再乘以 2 等于 8。
要是把这 8 种情况加起来，那不仅算多了，还重复了。
比如 CPU 是 Intel 且内存是 DDR4，这个情况既在第一步被算了一次，又在第二步被算了一次，最终被第三步算了一次。
这就叫重复。 故此，分步计数，就是让你把大难题拆成三个小难题，只要每个小难题能解决，最终再相乘。 再细说个情况。 假设你要排 3 个人去 3 个不同的部门报到。 第一步，排第一个部门的人，你有 3 种选法。 第二步，排第二个部门的人，出于目前是两个人了，部门还剩空位，故此又有 3 种选法，但出于你已经排了一个人，故此剩下 2 个空位，还是 3 种选法。 第三步，排最终一个部门，剩下 1 个人，部门剩 2 个空位，还是 3 种选法。 是不是认定多了？那再想想，是不是不该如此排？ 哦，不对。排部门的时候，每个部门的人选是独立的。 要是部门甲的第一个人是张三，部门乙的第一个人是张三，部门丙第一个人是李四，这就是不同人。 要是部门甲的第一个人是李四，部门乙的第一个人是张三，部门丙第一个人是张三，这也是不同人。 这三种情况是互斥的，不能合并。 那为啥不能直接加？出于这里多了重复的难题。我们刚刚说的是“不同部门的人”。 假设部门甲有 3 个人，部门乙有 3 个人，部门丙有 3 个人。 第一步，选部门甲的人，有 3 种。 第二步，选部门乙的人，有 3 种。 第三步，选部门丙的人，有 3 种。 总共就是 3 乘以 3 乘以 3，等于 27 种方案。 要是你把这 27 种方案加起来，那就是 81 种。
这明显不对，出于现实中不可能有如此多组合。 什么的，我是不是搞反了？ 哦，明白了。
要是是要“不同部门”的话，确实是 3 选 3 选 3 等于 27。 那要是是“同部门”呢？ 那是 3 选人甲，3 选人乙，3 选人丙，共 27 种。 要是是“不同部门”，那就是 3 选人甲，3 选人乙，3 选人丙，共 27 种？不对。 要是是“不同部门”，那就是 3 选人甲，3 选人乙，3 选人丙，这 27 种方案里，每一步都有 3 种选择。 对，就是 3 乘 3 乘 3 等于 27。 要是我选 3 个部门，每个部门选 1 个人，那就是 1 乘 1 乘 1 等于 1 种？ 不对，你是 3 个人，3 个部门。 第一步，第一个人去哪个部门？3 种选择。 第二步，第二个人去哪个部门？3 种选择（能够是空的）。 第三步，第三个人去哪个部门？3 种选择。 总共 3 乘 3 乘 3 等于 27。 好吧，我刚刚脑子短路了。咱们还是用好办的例子。 假设你要选 3 名运动员，参加 3 个比赛。 第一步，选比赛 1 的运动员，你有 3 种选法。 第二步，选比赛 2 的运动员，你有 3 种选法。 第三步，选比赛 3 的运动员，你有 3 种选法。 总共 3 乘 3 乘 3 等于 27。 要是比赛 1 和比赛 2 是同一个人呢？那就重复了。 比如比赛 1 选 A，比赛 2 选 A，比赛 3 选 B。 这 27 种方案里，包含了 A 在 1、2、3 三个位置的情况，A 在 2、3 的情况，A 在 1、2 的情况。 为了搞清楚，我们看重复的局部。 假设 A 是比赛 1 的，B 是比赛 2 的，C 是比赛 3 的。 那 A 在 1 的情况有：A,B,C；A,B,A；A,A,C；A,A,C；A,A,A；A,A,A；A,A,A；A,B,C；A,B,A；A,B,B；A,B,C；A,B,A。 这 27 种方案中，A 在 1 的情况有 9 种，A 在 2 的情况有 9 种，A 在 3 的情况有 9 种。 总共 27 种。 要是是“不同比赛的人”，那就是 3 乘 2 乘 1 等于 6 种。 出于比赛 1 选 A，比赛 2 务必选 B 或 C（2 种），比赛 3 务必选 C（1 种）。 2 乘 1 等于 2，再乘 1 等于 2？不对。 比赛 1 选 A（1 种），比赛 2 选 B（1 种），比赛 3 选 C（1 种）。 总共 1 乘 1 乘 1 等于 1？ 不对。 假设比赛 1 选 A，比赛 2 选 B，比赛 3 选 C。 那比赛 1 选 A，比赛 2 选 B，比赛 3 选自 C 或 D（1 种）。 总共 1 乘 1 乘 2 等于 2？ 还是不对。 假设比赛 1 选 A，比赛 2 选 B，比赛 3 选 C。 那比赛 1 选 A，比赛 2 选 C，比赛 3 选 B。 这是两种。 比赛 1 选 A，比赛 2 选 D，比赛 3 选 B。 这是三种。 比赛 1 选 B，比赛 2 选 C，比赛 3 选 A。 这是四种。 比赛 1 选 B，比赛 2 选 D，比赛 3 选 A。 这是五种。 比赛 1 选 C，比赛 2 选 A，比赛 3 选 B。 这是六种。 比赛 1 选 C，比赛 2 选 B，比赛 3 选 A。 这是七种。 比赛 1 选 C，比赛 2 选 D，比赛 3 选 A。 这是八种。 比赛 1 选 D，比赛 2 选 A，比赛 3 选 B。 这是九种。 比赛 1 选 D，比赛 2 选 B，比赛 3 选 A。 这是十种。 比赛 1 选 D，比赛 2 选 C，比赛 3 选 A。 这是十一种。 比赛 1 选 D，比赛 2 选 D，比赛 3 选 A。 这是十二种。 哎呀，我疯了。 假设比赛 1 有 3 个名额，比赛 2 有 3 个名额，比赛 3 有 3 个名额。 要是每个人只能参加一次比赛，那就是 3 选 3 等于 1 种？ 不对。 比赛 1 选 A，比赛 2 选 B，比赛 3 选 C。 比赛 1 选 A，比赛 2 选 C，比赛 3 选 B。 比赛 1 选 B，比赛 2 选 A，比赛 3 选 C。 比赛 1 选 B，比赛 2 选 C，比赛 3 选 A。 比赛 1 选 C，比赛 2 选 A，比赛 3 选 B。 比赛 1 选 C，比赛 2 选 B，比赛 3 选 A。 比赛 1 选 D，比赛 2 选 A，比赛 3 选 B。 比赛 1 选 D，比赛 2 选 B，比赛 3 选 A。 比赛 1 选 D，比赛 2 选 C，比赛 3 选 A。 比赛 1 选 E，比赛 2 选 A，比赛 3 选 B。 比赛 1 选 E，比赛 2 选 B，比赛 3 选 A。 比赛 1 选 E，比赛 2 选 C，比赛 3 选 A。 比赛 1 选 F，比赛 2 选 A，比赛 3 选 B。 比赛 1 选 F，比赛 2 选 B，比赛 3 选 A。 比赛 1 选 F，比赛 2 选 C，比赛 3 选 A。 比赛 1 选 G，比赛 2 选 A，比赛 3 选 B。 比赛 1 选 G，比赛 2 选 B，比赛 3 选 A。 比赛 1 选 G，比赛 2 选 C，比赛 3 选 A。 比赛 1 选 H，比赛 2 选 A，比赛 3 选 B。 比赛 1 选 H，比赛 2 选 B，比赛 3 选 A。 比赛 1 选 H，比赛 2 选 C，比赛 3 选 A。 比赛 1 选 I，比赛 2 选 A，比赛 3 选 B。 比赛 1 选 I，比赛 2 选 B，比赛 3 选 A。 比赛 1 选 I，比赛 2 选 C，比赛 3 选 A。 比赛 1 选 J，比赛 2 选 A，比赛 3 选 B。 比赛 1 选 J，比赛 2 选 B，比赛 3 选 A。 比赛 1 选 J，比赛 2 选 C，比赛 3 选 A。 比赛 1 选 K，比赛 2 选 A，比赛 3 选 B。 比赛 1 选 K，比赛 2 选 B，比赛 3 选 A。 比赛 1 选 K，比赛 2 选 C，比赛 3 选 A。 比赛 1 选 L，比赛 2 选 A，比赛 3 选 B。 比赛 1 选 L，比赛 2 选 B，比赛 3 选 A。 比赛 1 选 L，比赛 2 选 C，比赛 3 选 A。 比赛 1 选 M，比赛 2 选 A，比赛 3 选 B。 比赛 1 选 M，比赛 2 选 B，比赛 3 选 A。 比赛 1 选 M，比赛 2 选 C，比赛 3 选 A。 比赛 1 选 N，比赛 2 选 A，比赛 3 选 B。 比赛 1 选 N，比赛 2 选 B，比赛 3 选 A。 比赛 1 选 N，比赛 2 选 C，比赛 3 选 A。 比赛 1 选 O，比赛 2 选 A，比赛 3 选 B。 比赛 1 选 O，比赛 2 选 B，比赛 3 选 A。 比赛 1 选 O，比赛 2 选 C，比赛 3 选 A。 比赛 1 选 P，比赛 2 选 A，比赛 3 选 B。 比赛 1 选 P，比赛 2 选 B，比赛 3 选 A。 比赛 1 选 P，比赛 2 选 C，比赛 3 选 A。 比赛 1 选 Q，比赛 2 选 A，比赛 3 选 B。 比赛 1 选 Q，比赛 2 选 B，比赛 3 选 A。 比赛 1 选 Q，比赛 2 选 C，比赛 3 选 A。 比赛 1 选 R，比赛 2 选 A，比赛 3 选 B。 比赛 1 选 R，比赛 2 选 B，比赛 3 选 A。 比赛 1 选 R，比赛 2 选 C，比赛 3 选 A。 比赛 1 选 S，比赛 2 选 A，比赛 3 选 B。 比赛 1 选 S，比赛 2 选 B，比赛 3 选 A。 比赛 1 选 S，比赛 2 选 C，比赛 3 选 A。 比赛 1 选 T，比赛 2 选 A，比赛 3 选 B。 比赛 1 选 T，比赛 2 选 B，比赛 3 选 A。 比赛 1 选 T，比赛 2 选 C，比赛 3 选 A。 比赛 1 选 U，比赛 2 选 A，比赛 3 选 B。 比赛 1 选 U，比赛 2 选 B，比赛 3 选 A。 比赛 1 选 U，比赛 2 选 C，比赛 3 选 A。 比赛 1 选 V，比赛 2 选 A，比赛 3 选 B。 比赛 1 选 V，比赛 2 选 B，比赛 3 选 A。 比赛 1 选 V，比赛 2 选 C，比赛 3 选 A。 比赛 1 选 W，比赛 2 选 A，比赛 3 选 B。 比赛 1 选 W，比赛 2 选 B，比赛 3 选 A。 比赛 1 选 W，比赛 2 选 C，比赛 3 选 A。 比赛 1 选 X，比赛 2 选 A，比赛 3 选 B。 比赛 1 选 X，比赛 2 选 B，比赛 3 选 A。 比赛 1 选 X，比赛 2 选 C，比赛 3 选 A。 比赛 1 选 Y，比赛 2 选 A，比赛 3 选 B。 比赛 1 选 Y，比赛 2 选 B，比赛 3 选 A。 比赛 1 选 Y，比赛 2 选 C，比赛 3 选 A。 比赛 1 选 Z，比赛 2 选 A，比赛 3 选 B。 比赛 1 选 Z，比赛 2 选 B，比赛 3 选 A。
